Вычислительные задачи геофизической магнитогидродинамики

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-17-00114

НазваниеВычислительные задачи геофизической магнитогидродинамики

Руководитель Желиговский Владислав Александрович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики Российской академии наук (ИТПЗ РАН) , г Москва

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 07 - Науки о Земле; 07-405 - Геомагнитное поле, геодинамо, палеомагнетизм

Ключевые слова Магнитное поле Земли, магнитные инверсии, магнитное динамо, разделение масштабов, альфа-эффект, турбулентная диффузия

Код ГРНТИ37.15.25

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Геомагнитное поле - необходимое условие существования жизни на поверхности Земли. Оно препятствует срыву атмосферы Земли солнечным ветром и попаданию на нее потоков высокоэнергетических космических частиц. По современным научным представлениям, магнитное поле Земли, как и многих других астрофизических объектов, создается конвекцией электропроводного расплава во внешнем ядре. Это динамический процесс; по палеомагнитным данным раз в несколько сот тысяч - миллион лет происходят инверсии геомагнитного поля, в которых его полярность изменяется на противоположную. Остается ли магнитное поле на протяжении всей инверсии достаточно сильным для сохранения своих рассеивающих и защитных свойств, неизвестно. По результатам палеомагнитных исследований, 795 тысяч лет назад начался период неустойчивости магнитного поля, продолжавшийся 22 тысячи лет, в течение которых проходили увеличение и уменьшение напряженности поля, экскурсии магнитного полюса и коллапс дипольной компоненты поля, после чего 773 тысячи лет назад инверсия закончилась и началась современная эпоха Брюнес постоянной ориентации геомагнитного диполя. Некоторые измерения свидетельствуют, что в настоящее время, возможно, наблюдается начало новой инверсии (высказываются и противоположные точки зрения, см., например, Brown et al., PNAS 115, 2018, 5111-5116, www.pnas.org/cgi/doi/10.1073/pnas.1722110115 PNAS). Это придает практическую значимость и актуальность углубленному изучению процесса инверсии и механизмов гидромагнитной генерации магнитного поля как в линейной, так и нелинейной постановках. С этой целью, в данном проекте будут рассмотрены следующие задачи геофизической магнитогидродинамики (МГД). (1) Моделирование процесса инверсии посредством численного решения уравнений конвективного гидромагнитного динамо в плоском вращающемся слое. Постановка задачи в плоском слое с условием периодичности в горизонтальных направлениях позволяет выделить фундаментальные свойства решений, не связанные со специальной геометрией (сферический слой) объема электропроводного расплава во внешнем ядре Земли, а также существенно упрощает вычисления. Цель работы - численно найти и изучить достаточно большое число случаев инверсии магнитного поля, чтобы получить представление об их различных возможных сценариях. Направление оси вращения слоя будет варьироваться от вертикального (перпендикулярного слою жидкости) до горизонтального (параллельного слою) для моделирования процесса генерации в сегментах внешнего ядра, расположенных на различных широтах, от приполярных до приэкваториальных, соответственно. В отличие от известных в литературе подходов, мы не планируем приближаться как можно ближе к области параметров, характеризующих условия во внешнем ядре Земли, а будем использовать величины, при которых качественно поведение решений уже подобно поведению геомагнитного поля, но которые не требуют чрезмерных вычислительных ресурсов (времени расчета одного режима и пространственного разрешения). Этот подход даст возможность исследовать достаточно детально зависимость поведения системы от параметров задачи, и, в частности, выявить один или несколько характерных типов поведения магнитного поля во время инверсии. Ранее такая задача исследователями не ставилась. С точки зрения теории динамических систем, инверсия связана с симметрией системы относительно обращения магнитного поля B→-B и наличием гетероклинических циклов, связывающих слабо-неустойчивые МГД режимы, в которых магнитное поле противоположно. Сценарий (последовательность бифуркаций), приводящий к инверсиям магнитного поля, был предложен в работе Podvigina (GAFD, 97, 2003, 149-174), где также приведен пример системы, в которой этот сценарий реализован. Поиск режимов, содержащих инверсии магнитного поля, мы планируем проводить, следуя идеям этой работы. Опора на математическое понимание природы инверсий облегчит поиск режимов конвективного динамо, в которых они наблюдаются, и также является оригинальной чертой планируемого исследования. Расчет существенного числа инверсий, который становится возможен, когда расчеты проводятся для умеренных величин параметров, позволит рассмотреть задачу о поиске предвестников геомагнитных инверсий. Согласно современной научной парадигме, катастрофические события в сложной нелинейной системе часто являются кульминацией последовательности малых изменений в ней. Таким образом, прогностический интерес может представлять исследование процессов подготовки инверсии на достаточно малых пространственных и временных масштабах. В качестве примера отметим, что магнитные данные последнего периода стабильной полярности достоверно указывают на экскурсии геомагнитного поля, которые можно понимать как неполные инверсии, и в первом приближении продолжительность и масштаб экскурсий информативны при сравнении моделей и реальности. Известно, что задача прямого поиска предвестников в реальных палео- и археомагнитных магнитных данных сегодня выглядит нереалистичной, однако это обстоятельство может быть следствием физической специфики этих данных: они имеют очень ограниченное разрешение по времени и пространству деталей главного магнитного поля Земли, - что не исключает возможность существования предвестников, связанных с поведением поля на малых масштабах. Напротив, численные решения дают возможность изучать явление инверсии на малых масштабах и вычислять временные ряды для любого мелкомасштабного параметра. Более того, такие же временные ряды можно строить по результатам измерений реального геомагнитного поля, поэтому, по крайней мере в принципе, в дальнейшем можно будет определить, прогнозирует ли такой гипотетический предвестник инверсию геомагнитного поля по поведению главного магнитного поля в настоящее время (определенные сложности могут быть связаны с выделением из измеренного поля компоненты, относящейся ко главному полю). (2) Еще одним направлением для исследования указанных выше пространственно-периодических решений будет сравнительное исследование их разложений по функциональным базисам. В настоящее время имеется некоторое количество вычислительных решений уравнений магнитной гидродинамики в их сферической версии (имитирующих реальную геометрию строения Земли). Появилась принципиальная возможность оценки нетривиальных асимптотик коэффициентов разложения поля по пространственным масштабам (например, разложений по сферическим гармоникам). Сравнение с аналогичными разложениями решений для пространственно-периодических (и квазипериодических) течений может быть основой для общего характеристического описания различных режимов магнитного динамо. (3) Задаваемые в рамках кинематического подхода поля скорости электропроводной жидкости призваны имитировать ее турбулентные течения. При рассмотрении процессов, на которые не влияют размеры содержащего жидкость контейнера, часто поле скорости считают стационарным и пространственно-периодическим. Однако течения на масштабах турбулентности стохастичны, а не периодичны по пространству. В данной задаче мы сделаем шаг навстречу турбулентности, задавая квазипериодичное (т.е. имеющее две несоизмеримые пространственные частоты по каждому координатному направлению) течение. При этом оно может иметь стационарное, периодическое по времени (тогда для определения магнитных мод и их инкрементов роста необходимо решить задачу Флоке) или квазипериодическое по времени (т.е., имеющее две или более несоизмеримые частоты) поле скорости, что также ближе по свойствам к турбулентным течениям. Для решения задачи на собственные значения для оператора магнитной индукции для определения инкремента роста доминирующей магнитной моды (задача кинематического динамо) применимы псевдоспектральные методы с разложением магнитной моды в индивидуальный ряд Фурье по каждой пространственной и временной (когда течение нестационарно) базисной частоте. При выборе таких полей скорости определенной структуры задача оказывается естественно параллелизуема для ведения расчетов на кластерах. Будут проведены расчеты как короткомасштабных динамо, так и длинномасштабных, где действуют механизмы магнитного α-эффекта или отрицательной вихревой диффузии. (4) Классическое понятие α-эффекта основано на предположении о существенном разделении пространственных масштабов между возмущаемым состоянием и генерируемой модой неустойчивости (например, между магнитной модой и генерирующем течением в задаче кинематического динамо). Мы изучим, насколько верно это предположение. Пространственно-периодическое течение может генерировать квазипериодические магнитные поля типа блоховских мод, имеющих вид произведения периодического поля на плоскую волну с несоизмеримыми пространственными периодами; такой же вид могут иметь и моды неустойчивости периодических гидродинамических и МГД состояний. Сомножители, представляющие собой плоскую волну, имеют вид гармоник Фурье. В задаче на собственные значения, описывающей моды неустойчивости и их инкременты роста, при дифференцировании эти гармоники дают новые члены, линейные и квадратичные по волновому вектору плоской волны, и сокращаются из уравнений. Соответственно, задача преобразуется в задачу на собственные значения для поля такой же пространственной периодичности, что и у поля скорости течения в задаче кинематического динамо, или у возмущаемого состояния в задачах гидродинамической и МГД неустойчивости, что сильно упрощает вычисления. Вычисляя максимум инкремента роста возмущения по волновому вектору плоской волны, можно узнать, насколько велико разделение пространственных масштабов между доминирующей модой неустойчивости и возмущаемым состоянием. В задачах (3) и (4) будут рассмотрены генерирующие течения и возмущаемые МГД состояния, у которых будут псевдослучайные коэффициенты разложений в ряд Фурье и заданные энергетические спектры различного типа: экспоненциально затухающий или колмогоровский, или состоящие из нескольких ненулевых гармоник Фурье. Так будет моделироваться фрагмент турбулентного МГД состояния в определенном диапазоне пространственных масштабов: в диссипативном и инерционном интервалах, а также на масштабах крупных вихрей. Постановки всех описанных задач оригинальны и находятся на переднем крае науки, а их решения, которые предполагается построить в процессе выполнения проекта, будут в полной мере характеризоваться научной новизной.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Джеябалан С.Р., Чертовских Р., Гама С., Желиговский В. Nonlinear large-scale perturbations of steady thermal convective dynamo regimes in a plane layer of electrically conducting fluid rotating about the vertical axis Mathematics, Mathematics 2022, 10, 2957 (год публикации - 2022)
10.3390/math10162957

2. Толмачев Д., Чертовских Р., Желиговский В. Algorithmic aspects of simulation of magnetic field generation by thermal convection in a plane layer of fluid Mathematics, vol. 11, 808 (год публикации - 2023)
10.3390/math11040808

3. Чертовских Р., Желиговский В. Linear perturbations of the Bloch type of space-periodic magnetohydrodynamic steady states. I. Mathematical preliminaries Russian Journal of Earth Sciences, vol. 23 №3, ES3001 (год публикации - 2023)
10.2205/2023es000834

4. Чертовских Р., Желиговский В. Linear perturbations of the Bloch type of space-periodic magnetohydrodynamic steady states. II. Numerical results Russian Journal of Earth Sciences, vol. 23 №4, ES4004 (год публикации - 2023)
10.2205/2023es000838

5. Чертовских Р., Желиговский В. Linear perturbations of the Bloch type of space-periodic magnetohydrodynamic steady states. III. Asymptotics of branching Russian Journal of Earth Sciences, том 23, ES5004 (год публикации - 2023)
10.2205/2023ES000841

6. Хохлов А., Гвоздик Г. The Process of Reconstructing the Ancient Magnetic Field Direction: A New Approach to Paleomagnetic Data for a Better Estimate of Accuracy Applied Sciences, vol. 13, 4717 (год публикации - 2023)
10.3390/app13084717

7. Хохлов А.В., Гвоздик Г.А., Лебедев И.Е. Вопросы статистической точности палеонаправлений Ученые записки Казанского университета. Серия Естественные науки, Том 165, № 4, 513-523 (год публикации - 2023)
10.26907/2542-064X.2023.4.513-523

8. Хасаева Т.Т. Исследование влияния магниторотационной неустойчивости на генерацию галактических магнитных полей Всероссийская конференция молодых ученых-механиков YSM-2023. Тезисы докладов (4−14 сентября 2023 г., Сочи, «Буревестник» МГУ). М.: Издательство Московского университета, стр. 116 (год публикации - 2023)

9. Толмачев Д. Численное моделирование нелинейного конвективного магнитного динамо во вращающемся плоском слое электропроводной жидкости Всероссийская конференция молодых ученых-механиков YSM-2023. Тезисы докладов (4−14 сентября 2023 г., Сочи, «Буревестник» МГУ). М.: Издательство Московского университета, стр. 110 (год публикации - 2023)

10. Толмачев Д., Чертовских Р., Джеябалан С.Р., Желиговский В. Predictability of magnetic field reversals Mathematics, vol. 12, 490 (год публикации - 2024)
10.3390/math12030490

11. Желиговский В.А. Асимптотика ветвления семейств наименее устойчивых магнитных мод блоховского типа Физика Земли, вып. 6, 2024 (год публикации - 2024)

12. Желиговский В.А. Вырождение нелинейности для пространственно-аналитических пространственно-периодических решений уравнений гидродинамического типа Доклады Российской Академии Наук. Физика, технические науки, том 522 (май-июнь) (год публикации - 2025)

13. Подвигина О.М. An efficient Galerkin method for problems with physically realistic boundary conditions Computer Physics Communications (год публикации - 2024)

14. Подвигина О.М. Stability of convective rolls in a horizontal layer rotating about an inclined axis Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics, vol. 118(3), 228-249 (год публикации - 2024)

Публикации

13. Подвигина О.М. An efficient Galerkin method for problems with physically realistic boundary conditions Computer Physics Communications (год публикации - 2024)

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В 2024 г. мы продолжили работу по всем направлениям, запланированным в 2023 г. 1. Численно изучена генерация магнитного поля конвективными течениями в плоском горизонтальном слое, подогреваемом снизу и вращающемся относительно наклонной оси, когда на границах жидкости выполнены условия прилипания, над жидким слоем находится диэлектрик, а под ним - проводник. В горизонтальных направлениях поля имеют период наиболее неустойчивой конвективной моды. Рассмотрены течения, возникающими вблизи установления конвекции (1-2 бифуркации от тривиального состояния) для чисел Прандтля от 1 до 5, чисел Тейлора до 500, ось вращения - горизонтальная или наклонная под углом 30 град. Они имеют форму валов, бегущей волны или изогнутых валов. В большинстве рассмотренных случаев магнитное поле генерируется. Расчеты проведены для магнитных чисел Прандтля несколько больше критических (порядка 1). Обнаружено, что во всех случаях неустойчивость колебательная, и возникающий МГД аттрактор симметричен относительно обращения магнитного поля. Причины этого требуют дальнейшего исследования. Аттракторы с такой симметрией не могут быть стартовыми для развития сценария О.М. Подвигиной появления инверсий магнитного поля, поэтому интересен вопрос, не теряют ли они ее на большем удалении в пространстве параметров. 2. Программно реализован алгоритм статистической обработки данных лабораторных измерений на основе полученных в 2023 г. теоретических результатов о точности определения направлений палеомагнитного поля. Разработанные алгоритмы вычислений и визуализации запрограммированы в виде модуля в стандарте мультиплатформенного пакета программ PMTOOLS. Основное назначение модуля - проверка того, что группу образцов реальных вулканических данных можно рассматривать как набор измерений, связанных единым направлением остаточной намагниченности. Это позволяет выделять образцы, в которых направление остаточной намагниченности значимо отличается от таких направлений у прочих представителей группы. Работа программы проверена на реальных и симуляционных наборах данных о лабораторных перемагничиваниях. 3. При численном решении с заданным числом гармоник N по каждому декартовому направлению задачи о кинематической генерации магнитного поля квазипериодическими течениями с несоизмеримыми пространственными частотами α1 и α2, негативное влияние на вычислительный процесс того обстоятельства, что ноль - точка насыщения спектра оператора Лапласа, тем меньше, чем больше минимум величины |p α1-q α2| по целым числам p и q таким, что |p|<N/2 и |q|<N/2. Применив этот критерий для N=32, мы остановились на паре α1=5/sqrt(7), α2=1. Начаты расчеты для скорости течения вида sV+(1-s)W, где V характеризуется частотой α1, а W частотой α2, для s между 0 и 1 и коэффициента магнитной диффузии eta=0.1. Расчеты еще не завершены, но уже можно сделать первые выводы: (1) предложенная стратегия выбора частот оправдалась - энергетический спектр найденных магнитных мод убывает на 5-6 порядков; (2) подтверждены наши предположения: инкремент роста магнитной моды имеет минимум при s около 0.5, когда квазипериодичность скорости наиболее выражена. Это вызвано, по-видимому, тем, что для генерации необходимо упорядоченное коллективное действие течения; квазипериодичность хаотизирует поток, что может нарушать согласованность действия в разных областях жидкого объёма. 4. Предложен метод решения задачи о кинематической генерации магнитного поля квазипериодическим по времени течением. Он сводится к расчету интеграла резольвенты оператора магнитной индукции, действующей на фиксированный вектор, по параметру резольвенты по замкнутому контуру в комплексной плоскости. Результат такого расчета - линейная комбинация собственных векторов данного оператора, собственные значения которых лежат внутри данного контура. Интерактивно изменяя контур интегрирования, мы вычисляем доминирующую магнитную моду. Выбор контура в полосе достаточно малых мнимых частей избавляет от мнимых паразитных добавок к собственным значениям. Насколько нам известно, ранее этот метод ранее для численного решения задач на собственные значения не применялся. Алгоритм показал свою работоспособность, начат расчет семейства доминирующих квазипериодических мод. Мы разрабатываем код расчета этим методом доминирующих линейных мод адвекции пассивного скаляра семейством пространственно-квазипериодических двумерных течений вида sV+(1-s)W. Как и в случае динамо, мы предполагаем, что минимальные по s доминирующие инкременты (перемешивание наименее эффективно) имеют моды при s около 1/2. 5. Запрограммировано и отлажено два кода решения задачи о конвективном динамо в плоском горизонтальном вращающемся слое жидкости. О.М. Подвигина программно реализовала свой оригинальный алгоритм. Для разложения правой части уравнений по используемому неортогональному базису линейных комбинаций многочленов Чебышева, удовлетворяющих краевым условиям, используется ортогональная проекция на фиксированное пространство малой размерности. Это упрощает (для неявной схемы) или делает ненужным (для явной) решение системы уравнений относительно коэффициентов разложения, уменьшая объем вычислений. В коде использован полунеявный метода Рунге-Кутта малого порядка с постоянным шагом интегрирования. Создан секвенциальный код интегрирования галеркинской системы явно-неявным методом Рунге-Кутта 2-3 порядка IMEXRKCB3 с оценкой погрешности на каждом шагу и автоматическим выбором шага, который оптимален с точки зрения использования оперативной памяти и размера области устойчивости. 6. Построено асимптотическое разложение в степенные ряды мод, принадлежащих семейству, ответвляющемуся от семейства мод для постоянного полуцелого ненулевого блоховского вектора, и соответствующих собственных значений оператора магнитной индукции. Разложение проведено по тому же параметру, что и в случае, когда ответвление происходит от семейства короткомасштабных (с нулевым блоховским волновым вектором) нейтральных (имеющих нулевое собственное значение) мод генерируемых центрально-симметричным течением. В остальном эти разложения оказались существенно разными. 7. Численно исследованы пространственные инверсии магнитного поля в галактическом динамо в зависимости от коэффициента магнитной диффузии eta в рамках "no-z" приближения с учетом дифференциального вращения и α-эффекта. При больших eta магнитное поле отсутствует, при его уменьшении возникает МГД аттрактор, далее появляются несколько аттракторов, некоторых из которых с инверсиями. При ещё меньших eta инверсии контрастны.

Публикации

13. Подвигина О.М. An efficient Galerkin method for problems with physically realistic boundary conditions Computer Physics Communications (год публикации - 2024)