КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер проекта 22-21-00772

НазваниеУравнения и включения в пространствах с обобщенными метриками и в пространствах с бинарными отношениями, их приложения к задачам управления и оптимизации

Руководитель Жуковский Евгений Семенович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина" , Тамбовская обл

Конкурс №64 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-204 - Математические проблемы теории управления

Ключевые слова многозначное отображение, включение, точка совпадения, метрическое пространство, упорядоченное пространство, неявное дифференциальное включение, управляемая система, управляемость

Код ГРНТИ27.37.17

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Некоторые физические и биологические процессы (в частности, в механике, робототехнике, электродинамике, теории колебаний, нейробиологии) относят к существенно нелинейным. При моделировании таких процессов бывает необходимо учитывать импульсные воздействия, различные ограничения на параметры, зависимость параметров не только от состояния, но и от скорости его изменения и другие факторы. Для исследования существенно нелинейных систем, например, описываемых неявными дифференциальными уравнениями (прежде всего, задач управления и оптимизации для таких систем), многие классические методы анализа отображений метрических и, тем более, нормированных пространств оказываются неэффективными. Даже для разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений в случаях импульсных управлений, смешанных ограничений на фазовые переменные и управление, неограниченных невыпуклых множеств допустимых управлений, а также при наличии в уравнениях сингулярностей применить стандартные подходы и инструменты анализа часто бывает невозможно. Для изучения существенно нелинейных систем, а также задач управления и оптимизации, в которых нарушаются условия регулярности, требуется разработка новых методов анализа в различных обобщенно метрических пространствах и в частично упорядоченных пространствах. Распространение на такие пространства классических результатов анализа встречает серьезные трудности. Например, используемое в теоремах существования доказательство фундаментальности итерационных последовательностей существенно использует неравенство треугольника, и если обобщенное расстояние не удовлетворяет неравенству треугольника, то требуются новые идеи и схемы получения соответствующих результатов. Дополнительные сложности вносит неединственность в таких пространствах предела последовательностей. В последнее время растет интерес исследователей к решению перечисленных проблем. В недавних работах А.В. Арутюнова, А.В. Грешнова, С.Е. Жуковского, К.В. Сторожука и авторов настоящего проекта получены утверждения о неподвижных точках, о точках совпадения, о возмущениях накрывающих отображений, действующих в пространствах с векторными метриками, с $f$-квазиметриками, с $(q_1,q_2)$-квазиметриками, с расстоянием, удовлетворяющим только аксиоме тождества. Авторами проекта исследована задача о точках совпадения отображений, действующих из частично упорядоченного пространства в множество с рефлексивным бинарным отношением. Перечисленные результаты уже находят применение в исследованиях различных функциональных уравнений, в том числе неявных дифференциальных, интегральных уравнений, задач управления системами, динамика которых описывается такими уравнениями. Основная часть этих результатов относится к однозначным отображениям, и в связи с приложениями к системам управления актуальной проблемой становится получение их аналогов для многозначных отображений и соответствующих включений. Целью проекта является разработка методов нелинейного и многозначного анализа в пространствах, на которых определены обобщенные метрики либо бинарные отношения, исследование разрешимости и свойств решений уравнений и включений в таких пространствах, применение полученных результатов к задачам управления и оптимизации. Задачами проекта являются: получение условий типа Каристи достижения минимума функцией, определенной на пространстве с обобщенной метрикой или на пространстве с бинарным отношением; получение условий непрерывной зависимости от параметров точки минимума функции, определенной на пространстве с обобщенной метрикой или на пространстве с бинарным отношением; получение условий существования, непрерывной зависимости от параметров точек совпадения отображений, действующих в пространствах с обобщенными метриками и в пространствах с бинарными отношениями; получение условий устойчивости к возмущениям регулярных отображений в таких пространствах; получение условий разрешимости, полунепрерывной зависимости от параметров множеств решений уравнений и включений в пространствах с обобщенными метриками и в пространствах с бинарными отношениями; получение условий разрешимости, исследование свойств множеств решений задачи Коши и краевых задач для неявных дифференциальных и функционально-дифференциальных включений; исследование управляемых систем, описываемых неявными дифференциальными уравнениями, с ограничениями на фазовые переменные и управление, получение условий управляемости, полунепрерывной зависимости множеств решений от управления и параметров. В проекте будут разработаны новые методы получения условий существования и построения оценок минимума функционалов, определенных на пространствах с обобщенными метриками и на пространствах с заданными бинарными отношениями. Эти результаты открывают возможности решения задач оптимизации с ограничениями, получения известных и новых результатов о минимуме функций, о точках совпадения и неподвижных точках отображений в различных пространствах. Также в проекте будут разработаны новые методы исследования задач управления существенно нелинейными системами, в том числе, системами, динамика которых описывается неявными дифференциальными уравнениями. Для изучения задач управления, в которых нарушаются классические требования на входящие в них функции и ограничения, и прежде всего, задач управления для неявных дифференциальных уравнений в проекте предлагаются новые инструменты и методы, основанные на результатах о точках совпадения и о возмущениях накрывающих отображений, действующих в обобщенно метрических пространствах и пространствах с бинарными отношениями. Утверждения о минимуме функции, определенной на пространстве с обобщенной метрикой или на пространстве с бинарным отношением, и утверждения о точках совпадения, о возмущениях накрывающих многозначных отображений в пространствах с обобщенными метриками и в пространствах с бинарными отношениями, которые планируется получить в проекте, позволят исследовать различные вопросы для систем управления и оптимального управления, динамика которых описывается неявными дифференциальными уравнениями, сингулярными уравнениями, для систем импульсного управления, систем, содержащих смешанные ограничения, а также в случае неограниченных невыпуклых множеств допустимых управлений.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---