Математические модели с дробными производными и численный анализ кровотока и вязкоупругости сердечно-сосудистой системы

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-71-10087

НазваниеМатематические модели с дробными производными и численный анализ кровотока и вязкоупругости сердечно-сосудистой системы

Руководитель Гамилов Тимур Мударисович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Первый Московский государственный медицинский университет имени И.М. Сеченова Министерства здравоохранения Российской Федерации (Сеченовский Университет) , г Москва

Конкурс №71 - Конкурс 2022 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-205 - Математические модели в науках о живом

Ключевые слова гемодинамика, вязкоупругость, микроциркуляция, дробные производные, сеточные методы, идентификация параметров, итерационные алгоритмы

Код ГРНТИ27.35.43

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на разработку новых математических моделей с дробными производными для задач гемодинамики, а также на построение численных методов и эффективных алгоритмов для решения этих задач. Тема проекта мотивирована, с одной стороны, высокой практической важностью создания адекватных математических моделей кровотока, а с другой - достижениями в области дробного исчисления и его приложений. Передовые методы диагностики заболеваний сосудистой системы требуют создания всё более точных моделей кровотока. Известные модели сердечно-сосудистой системы нуждаются в значительной модификации для учёта вязкоупругости, анизотропной вязкости, микроциркуляции, аномальной диффузии суспензии эритроцитов, эффектов памяти. В два последних десятилетия при моделировании различных физических, экономических, биологических и других явлений активно используются уравнения с дробными производными. Они позволяют более точно, чем уравнения с классическими целочисленными производными, моделировать процессы, связанные с эффектами памяти, вязкоупругостью и другими перечисленными эффектами. В последнее время были предложены первоначальные математические модели кровотока с дробными производными по времени для одномерных задач в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы планируем построить более сложные реалистичные модели кровотока с дробными производными, описывающие многомерные течения в артериях, вязкоупругость стенок сосудов и процессы диффузии-адвекции. Известны многочисленные варианты дробных производных, которые используются для адекватного описания различных физических, экономических, биологических процессов (производные Римана-Лиувилля, Капуто, Вейля, Атангава-Балеану, Капуто-Фабрицио и т.д.). Выбор типа дробной производной и её параметров зависит от конкретного описываемого процесса и проблема их выбора для задач гемодинамики является открытой. Для решения этой проблемы мы планируем поставить и решить обратные задачи идентификации распределённых параметров дробных производных. В рамках проекта мы планируем 1) построить и обосновать новые математические модели кровотока с использованием дробно-дифференциальных уравнений. В их числе: - системы ОДУ с дробными производными по времени, - уравнения кровотока в частных производных с дробно-дифференциальным уравнением состояния стенки сосуда, - уравнения аномальной диффузии-адвекции. 2) развить численные методы и построить легко реализуемые и экономичные алгоритмы для решения поставленных задач; 3) поставить ряд обратных задач - задач идентификации параметров моделей течения крови в артериях, провести их обоснование и разработать алгоритмы решения на основе классических (суб)градиентных методов и машинного обучения. Построенные модели гемодинамики могут быть использованы клиническими специалистами (в т.ч. Сеченовского университета) для дальнейших биомедицинских клинических испытаний. Разработанные численные методы и алгоритмы смогут найти применение в различных областях физики, механики, естествознания, где возникнут модели с дробными производными для описания процессов диффузии-конвекции, вязкоупругости и пластичности.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Предложена и реализована модель кровотока, односторонне сопряженная с моделью переноса-диффузии частиц с дробной материальной производной вдоль траектории частицы, предложенной ранее в работах авторов. В модель переноса-диффузии частиц входят скорости крови, полученные из модели кровотока. Для дискретизации дробной материальной производной использовалась аппроксимация суммой экспонент, предложенная ранее в работах авторов для дискретизации граничных условий в модели коронарного кровотока. Проведена валидация модели для частного случая обыкновенной производной (единичным показателем дробной производной). Произведено сравнение выходных характеристик численного эксперимента (графиков кривых для концентраций) с неединичным показателем дробной производной. Показано, что кривые концентраций отличаются незначительно для двух экстремальных значений показателя дробной производной. Исследована модель кровотока упругого резервуара с дробной производной. Рассмотрена экономичная численная аппроксимация уравнения модели, позволяющая производить расчёты с высокой точностью. Аппроксимация протестирована на предложенном частном случае с существующим аналитическим решением. С использованием численной аппроксимации продемонстрированы различные варианты решения обратной задачи по идентификации ядра дробной производной для реальных профилей кровяного давления. Полученные методы позволяют определить порядок дробной производной с точностью не хуже 15%. Рассматривается параболическое уравнение с дробной производной Капуто в двумерной области с однородными граничными условиями Дирихле и ограничением на решение. Уравнение содержит дробную производную по времени порядка α в интервале (0,1) и равномерно монотонный квазилинейный оператор диффузии. Задача аппроксимируется неявной сеточной схемой с использованием L1-аппроксимации по времени и P1 конечно-элементной аппроксимации для оператора диффузии. Доказывается существование единственного решения сеточной схемы и устанавливаются априорные оценки в сеточных аналогах пространства L2((0,T); H^1) для решения и пространства L2((0,T); H^-1) для правой части. Основным результатом работы является оценка близости сеточного решения к интерполянту точного решения при естественных предположениях относительно гладкости точного решения и геометрии множества совпадений. А именно, оценка точности O(tau^{3/2-α}+h^{1/2}) в сеточном аналоге нормы L2((0,T); H^1) выведен в предположении гладкости точного решения в точках, не совпадающих с точками кусочно-гладкой свободной границы, где допускается разрыв первых производных. Приведены результаты численных испытаний точности сеточной схемы на последовательности сеток. Рассмотрена модель Зинера с дробной производной по времени распространения волн в вязкоупругой среде. Предложена новая формулировка, в которой исходная задача преобразуется в систему, состоящую из уравнения колебания с целыми производными и обыкновенных дифференциальных уравнений с дробной производной по времени для каждого значения пространственной переменной. Такая постановка задачи позволяет строить сеточные аппроксимации с существенным сокращением вычислительных затрат. Это сокращение обусловлено тем, что на каждом расчетном временном слое сначала вычисляется вспомогательная сеточная функция по явным формулам с использованием известных значений с предыдущих временных слоев, а затем решается трехслойная разностная схема для линейного уравнения с целыми производными. Построены и численно протестированы явные, неявные и явно-неявные конечно-разностные аппроксимации задачи. Неявные и явно-неявные схемы безусловно устойчивы, имеют одинаковую точность и при этом явно-неявная схема существенно проще в реализации.

Публикации

1. Лапин А.В. Конечно-разностная схема для вариационного неравенства с дробной производной по времени Международная конференция "Математика в созвездии наук" К юбилею ректора МГУ академика Виктора Антоновича Садовничего Издательство московского университета, г. Москва, Международная конференция «Математика в созвездии наук», Москва, МГУ, 1-2 апреля 2024, Тезисы докладов, с. 557-558. (год публикации - 2024)

2. Лапин А.В., Янбарисов Р.М. Accuracy Estimate for a Grid Approximation of a Parabolic Obstacle Problem with Time-Fractional Derivative Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 46, No. 2, pp. 724–735. (год публикации - 2025)
10.1134/S1995080225605077

3. Янбарисов П.М., Гамилов Т.М. Sum of Exponentials Approach for the Fractional Derivative Discretization in a Coronary Blood Flow Model Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 46, No. 1, pp. 351–362. (год публикации - 2025)
10.1134/S1995080224608415

4. Гамилов Т. М. , Кириченко Я. Ю., Янбарисов Р. М., Валетов Д. К. Идентификация порядка дробной производной в модели упругого резервуара Дифференциальные уравнения (год публикации - 2025)

Возможность практического использования результатов
Разработанную в рамках проекта модель коронарного кровотока с дробной производной предполагается использовать для повышения точности системы поддержки понятия врачебных решений "Виртуальный ФРК" (https://vffr.sechenov.ru/). "Виртуальный ФРК" предназначена для оценки необходимости хирургического вмешательства при ишемической болезни сердца. Предложенные в рамках проекта математические модели и методы персонификации параметров позволят повысить точность расчёта диагностических критериев программой "Виртуальный ФРК". Предложенные методики оценки параметров дробной производной по профилю давления пациента, основанные на сформулированных постановках обратных задач, будут использованы для исследования связи порядка дробной производной и наличия сердечно-сосудистых заболеваний. Ранее высказывались гипотезы о связи порядка дробной производной в моделях кровотока упругого резервуара с наличием гипертонии. Будет проведена проверка этой гипотезы, а также наличия корреляции с другими заболеваниями, с помощью базы данных реальных пациентов (100-300 пациентов), набранной в Первом МГМУ им. И.М. Сеченова. Фундаментальные результаты проекта могут использоваться при дальнейшей разработке моделей кровотока или течения жидкости в пористых средах и с учётом нелинейных эффектов и эффектов памяти. Подобные задачи находят приложения в сферах экономики, нефтегазовой разработки, течении биологических жидкостей.