Линейные и нелинейные задачи математической физики

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-11-00009

НазваниеЛинейные и нелинейные задачи математической физики

Руководитель Борисов Денис Иванович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное научное учреждение Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук , Республика Башкортостан

Конкурс №80 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова асимптотика, усреднение, спектр, дифференциально-разностные уравнения, нелинейные уравнения, квазипериодические операторы, возмущение, динамическая система, устойчивость, локализованные моды, спектральная теория, математическая физика

Код ГРНТИ27.31.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на развитие спектральной теории линейных операторов, качественной теории нелинейных уравнений и теории динамических систем для серии задачи современной математической физики и состоит из трех основных частей. Первая часть посвящена развитию спектральной теории эллиптических операторов в нескольких направлениях. Первое из них ‒ исследование эллиптических операторов на квантовых графах с малыми ребрами и изучение их изолированных собственных значений с нестандартным поведением при уменьшении длин ребер. Второе ‒ доказательство операторных оценок для слабо нелинейных задач в областях с быстро осциллирующими границами общего вида и различными краевыми условиями на них. Третье ‒ изучение спектральных свойств дифференциально-разностных операторов с малыми переменными сдвигами. Вторая часть проекта посвящена исследованию нелинейных уравнений. Первое направление исследование – изучение решений нелинейного уравнения Шредингера с квазипериодическими потенциалами. Второе направление – описание типичных в смысле теории катастроф особенностей решений системы уравнений одномерного изоэнтропического газа для важных случаев Чаплыгина, системы уравнений гидродинамического граничного слоя и двумерного линейного однородного волнового уравнения с постоянными коэффициентами. Третья часть проекта направлена на исследования качественных и асимптотических свойств решений нелинейных автономных систем с неавтономными мультипликативными детерминированными и стохастическими возмущениями, интенсивность которых затухает со временем. Исследуется влияние возмущений на глобальные свойства решений, таких как наличие и потеря устойчивости, бифуркации и возможные перестройки решений, а также их асимптотическое поведение на далеких временах. Все задачи, которые будут рассматриваться в рамках проекта, мотивированы и интересны с точки зрения важных физических приложений и актуальных вопросов фундаментальной математики. Исследования по квантовым графам тесно связаны с задачами моделирования наноструктур и квантовых волноводов. Наличие собственных значений с необычным и нестандартным поведением свидетельствует о присутствии интересных физических эффектов в рассматриваемых моделях и о интересном математическом эффекте. Нелинейные задачи с быстро осциллирующей границей моделируют механические и квантово-механические структуры, имеющие различные неоднородности на границе. Ожидаемые операторные оценки описывают сходимость решений возмущенных к усредненным в максимальном сильном смысле, что исключает различные патологии, которые порой возникают при наличии только слабых сходимостей. Заявленные исследования дифференциально-разностных уравнений с малыми сдвигами – совершенно новое, прорывное направление в фундаментальной математике. С точки зрения физики их можно интерпретировать как нелокальные модели, в которых учитывается влияние ближайших соседей на процесс в данной точке. Явление локализации в периодических и квазипериодических потенциалах в присутствии нелинейных членов – интереснейшая задача для теоретической математики, так как речь идет о пересечении двух больших и активно развиваемых направлений: линейные квазипериодические операторы и нелинейные уравнения Шредингера. Какие эффекты возникают в нелинейных уравнениях с квазипериодическими членами – очень актуальная и нетривиальная задача. Они мотивированы и важными физическими приложениями в теории конденсата Бозе-Эйнштейна (БЭК) и нелинейной оптики, когда конденсат удерживается лазерной «ловушкой и квазипериодический потенциал такой «ловушки» естественно возникает при использовании лазеров с различными частотами. Развитие теории неавтономных систем нелинейных дифференциальных уравнений мотивировано важными физическими приложениями. С математической точки зрения он позволит раскрыть возможность использования слабых затухающих со временем возмущений для эффективного управления динамикой нелинейных систем.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Берколайко Г., Борисов Д.И., Кинг М. Exotic eigenvalues and analytic resolvent for a graph with a shrinking edge Analysis and Mathematical Physics, V. 13, id. 90 (год публикации - 2023)
10.1007/s13324-023-00853-3

2. Борисов Д.И., Зезюлин Д.А. Eigenvalues bifurcating from the continuum in two-dimensional potentials generating non-Hermitian gauge fields Annals of Physics, V. 459, id. 169498 (год публикации - 2023)
10.1016/j.aop.2023.169498

3. Борисов Д.И. RESOLVENT OF A SCHRODINGER OPERATOR ON A MODEL GRAPH WITH SMALL LOOPS Journal of Mathematical Sciences, V. 276, No. 1, P. 48 (год публикации - 2023)
10.1007/s10958-023-06724-3

4. Борисов Д.И., Поляков Д.М. Resolvent Convergence for Differential–Difference Operators with Small Variable Translations Mathematics, V. 11, No. 20, id 4260 (год публикации - 2023)
10.3390/math11204260

5. Алфимов Г.Л., Лебедев М.Е. Complete Description of Bounded Solutions for a Duffing-Type Equation with a Periodic Piecewise Constant Coefficient Russian Journal of Nonlinear Dynamics (год публикации - 2023)
10.20537/nd231102

6. Борисов Д.И., Сулейманов Р.Р. Об операторных оценках для эллиптических уравнений в двумерных областях с быстро осциллирующей границей и частой сменой краевых условий Математический сборник (год публикации - 2025)

7. Борисов Д.И., Сулейманов Р.Р. Операторные оценки для задач в областях с сингулярным искривлением границы: условия Дирихле и Неймана Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, т. 515, с. 11-17 (год публикации - 2024)
10.1134/S1064562424701758

8. Борисов Д.И., Сулейманов Р.Р. Об операторных оценках для эллиптических уравнений в многомерных областях с сильно искривленной границей Математический сборник (год публикации - 2025)

9. Борисов Д.И., Поляков Д.M. Asymptotics for nonlocal one-dimensional Schrodinger operator with Neumann condition and translation in free term Lobachevskii Journal of Mathematics (год публикации - 2025)

10. Мухаметрахимова А.И. Операторные оценки для непериодической перфорации вдоль границы: усредненное условие Дирихле Уфимский математический журнал, т. 16, № 4, с. 84-94 (год публикации - 2024)
10.13108/2024-16-4-83

11. Борисов Д.И., Сулейманов Р.Р. Об операторных оценках для эллиптических операторов со смешанными краевыми условиями в двумерных областях с быстро осциллирующей границей Математические заметки (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14039

12. Борисов Д.И., Поляков Д.М. Uniform spectral asymptotics for a Schrodinger operator on a segment with delta-interaction Russian Journal of Mathematical Physics, v. 31, no. 2, p. 149-161 (год публикации - 2024)
10.1134/S1061920824020018

13. Султанов О.А. Asymptotic regimes in oscillatory systems with damped non-resonant perturbations Nonlinear Dynamics, v. 112, p. 2589-2609 (год публикации - 2024)
10.1007/s11071-023-09195-y

14. Лебедев М.Е., Алфимов Г.Л. Numerical Evidence of Hyperbolic Dynamics and Coding of Solutions for Duffing-Type Equations with Periodic Coefficients Regular and Chaotic Dynamics, v. 29, p. 451-473 (год публикации - 2024)
10.1134/S156035472451004X

15. Борисов Д.И., Поляков Д.М. Равномерная асимптотика собственных значений для модельного оператора Шредингера с малым сдвигом Уфимский математический журнал, т. 16, № 3, с. 3-23 (год публикации - 2024)
10.13108/2024-16-3-1

16. Сулейманов Б.И., Шавлуков А.М. Омбилическая особенность квазиклассических приближений к решениям фокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера Математические заметки, т. 116, вып. 6, с. 982-997 (год публикации - 2024)

17. Шавлуков А.М. On Generic Singularities of Solutions to the 1D Gas Flow Equations: Chaplygin and Bechert–Stanyukovich Cases Lobachevskii Journal of Mathematics, v. 45, no. 6, p. 2779-2791 (год публикации - 2024)
10.1134/S1995080224603229

18. Сулейманов Б.И., Шавлуков А.М. Омбилическая особенность квазиклассических приближений к решениям фокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера Математические заметки, т. 116, № 6, с. 982-997 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14535

19. Алфимов Г.Л., Зезюлин Д.А. Formation of nonlinear modes in one-dimensional quasiperiodic lattices with a mobility edge Physical Review A, V. 110, id 063304 (год публикации - 2024)
10.1103/PhysRevA.110.063304

20. Борисов Д.И., Поляков Д.М. Асимптотики собственных значений оператора Шрёдингера с малым сдвигом и условием Дирихле Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, т. 517, с. 44-49 (год публикации - 2024)
10.1134/S1064562424702077

21. Султанов О.А. Stability of asymptotically hamiltonian systems with damped oscillatory and stochastic perturbations Communications on Pure and Applied Analysis, v. 23, no. 4, p. 432-462 (год публикации - 2024)
10.3934/cpaa.2024018

22. Борисов Д.И., Поляков Д.М. Спектральные асимптотики для оператора Шредингера, возмущенного оператором сдвига Известия РАН. Серия математическая (год публикации - 2025)
10.4213/im9574

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
п7. На общем графе с малыми ребрами рассматривался самосопряженный оператор второго порядка с переменными коэффициентами и общими краевыми условиями. Для него был исследован вопрос существования собственных значений, убегающих к минус бесконечности. Условия существования сформулированы в терминах вложенных собственных значений и виртуальных уровней на краю существенного спектра определенного модельного оператора. Было показано, что убегающие собственные значения могут быть исключительно двух типов. п8. В многомерной области рассматривалась краевая задача для слабо нелинейной системы уравнений дивергентного типа с сингулярным возмущением произвольно выбранной связной компоненты границы; возмущенная граница может иметь произвольную форму и должна лежать в тонком слое ширины ε. На такой границе выставлялось условие Неймана. Было сформулировано достаточно общее условие на геометрию возмущенной границы, которое для очень широкого класса самых разнообразных непериодических возмущений, гарантировало сохранение условие Неймана при усреднении на исходно выбранной связной компоненте границы. Основной полученный результат – неулучшаемые операторные H^1- и L_2-оценки. п9. На единичном отрезке рассматривался оператор Шрёдингера с произвольным постоянным сдвигом в младшем члене с краевыми условиями Дирихле или Неймана либо квазипериодическими условиями (исключая периодические краевые условия). Для таких операторов получена явная асимптотика собственных значений по номеру с оценкой остатка, равномерной по параметру. Асимптотика содержит три неклассических слагаемых, которые порождаются исключительно оператором сдвига, и демонстрирует нетривиальный высокочастотный эффект, который появляется из-за сдвига. Установлены оценки на спектральные проекторы для рассмотренных операторов и показано, что система собственных и присоединенных функций рассматриваемого оператора образует базис Бари в пространстве L_2. п10. При исследовании стационарных локализованных состояний в квазипериодическом потенциале с учетом однородной нелинейности обнаружено, что из-за наличия границы подвижности в линейном спектре квазипериодического потенциала формирование нелинейных мод у края спектральной лакуны происходит по двум различным сценариям. Ниже границы подвижности происходит бифуркация нелинейной моды от уже локализованной линейной моды. Выше границы подвижности линейная мода делокализована и бифурцирующие от нее нелинейные моды постепенно увеличивают степень локализации при продолжении семейства вглубь спектральной щели. В симметричном квазипериодическом потенциале возникновение нелинейных мод может сопровождаться как бифуркацией типа «вилка», так и седлоузловой бифуркацией. Бифуркационные диаграммы на плоскости «нелинейное собственное число – L_2 норма нелинейной моды» и взаиморасположение устойчивых и неустойчивых семейств нелинейных мод совпадают с типичными сценариями соответствующих бифуркаций в симметричных и несимметричных двухъямных потенциалах. Возникновение нелинейных мод у края спектральной щели происходит в результате каскада седлоузловых бифуркаций, возникающих при гибридизации между различными линейными модами и между линейными и нелинейными модами. В некотором диапазоне параметров двухчастотного квазипериодического потенциала, вновь представленного суммой двух косинусов, выполняются определенные условия, гарантирующие гиперболическую динамику. Наличие гиперболической динамики позволило предложить описание всех ограниченных решений уравнения Дюффинга с двухчастотным квазипериодическим потенциалом на языке бесконечных последовательностей символов некоторого конечного алфавита. п11. Описана особенность сечения сборки решений системы уравнений течения одномерного изоэнтропического газа в случае Чаплыгина: в окрестности точки градиентной катастрофы решения системы выражаются решениями канонического алгебраического уравнения катастрофы сборки. Решена общая задача об описании типичных особенностей решений достаточно общей эллиптической системы уравнений. Описана единственная типичная особенность сечения эллиптической омбилики: в окрестности точки градиентной катастрофы решения системы выражаются решениями соответствующих канонических уравнений В области гиперболичности описаны типичные особенности складки, сборки и сечения гиперболической омбилики решений системы уравнений гидродинамического граничного слоя при нулевой вязкости. На прямой параболичности описана особенность типа складки. В окрестности точки градиентной катастрофы решения выражаются решениями канонических уравнений соответствующих катастроф. Описание производилось в четырех основных случаях. п12. Выведена модельная система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику изохронных систем под действием класса затухающих комбинированных осциллирующих возмущений с резонансной частотой. Найдены условия на степени затухания внешнего и параметрического возмущений, гарантирующие возникновение неограниченно растущих решений либо стремящиеся к равновесию предельной автономной системы. Описаны условия на структуру и коэффициенты возмущений, гарантирующие устойчивость или неустойчивость этих решений. Помимо заявленного плана, в рамках проекта проводились дополнительные исследования. п13. В связи с исследованиями п8 рассматривалась краевая задача для скалярного эллиптического уравнения в многомерной области, с произвольной мелкой перфорацией вдоль связной компоненты границы. На границах полостей задавалось краевое условие Дирихле, а на внешней границе – условие Неймана. При определенных условиях на размеры полостей и их распределение показано, что решение рассматриваемой задачи сходится к решению усредненной задачи, в которой условие Неймана заменялось на условие Дирихле. Основной результат – соответствующая неулучшаемая H^1-операторная оценка. п14. В связи с исследованиями п8 рассматривалась двумерная задача для слабо нелинейного скалярного эллиптического уравнения с быстро непериодически осциллирующей границей, на которой ставились краевые условия Дирихле и Неймана либо на двух конечных частях, либо попеременно на большом числе малых кусков. Были выписана усредненная задача и доказаны H^1- и L_2-операторные оценки. В первом случае в этих оценках появлялся дополнительный логарифм малого параметра, во втором существенно менялось условие, гарантирующее усредненное условие Дирихле в пределе. п15. В связи с исследованиями в п9 рассматривался оператор Шрёдингера на единичном отрезке с условием Дирихле, возмущенный дельта-потенциалом и модельный оператор Шрёдингера с условиями Дирихле и Неймана на разных концах отрезка. В обоих постановках были получены результаты о равномерных спектральных асимптотиках, аналогичные п9.

Публикации