Аннотация результатов, полученных в 2024 году
1.5.1. Получены и исследованы эффективные асимптотические формулы для двумерного модельного уравнения Шредингера с «перевернутым» квадратичным потенциалом в случае, когда траектории, не покидающие ограниченную область за бесконечное время, образуют лагранжево многообразие с границей – «нестандартной каустикой». Показано, что в окрестности этой границы асимптотика решения определяется функцией ошибок Erf сложного аргумента. Построена асимптотика решения задачи Коши с локализованным начальным условием для двумерного уравнения Дирака с линейным потенциалом. В этом случае имеется два эффективных гамильтониана (терма), задающих соответствующие характеристики, один из которых соответствует электронам, а второй – дыркам, при этом они могут совпадать при некоторых значениях пространственной переменной. Подробно описан следующий эффект: асимптотическое решение исходной системы, задающее в нулевой момент времени волновую функцию электронов, через какое-то время порождает часть решения, соответствующего дыркам. По результатам работы готовится к публикации статья. 1.5.2. Пучок Лагерра-Гаусса -это решение параксиального уравнения Гельмгольца в трехмерном случае (то есть фактически нестационарного двумерного уравнения Шредингера) в терминах полиномов Лагерра. Он локализован в круге в плоскости (x_1,x_2), ортогональной оси распространения Oz. Новый подход к представлению для канонического оператора Маслова позволил получить равномерные асимптотики в виде специальных функций для такого пучка, включая случай, когда параксиальное приближение не работает, и тогда предложенный метод позволяет рассматривать исходное уравнение Гельмгольца с краевым условием, порожденным пучком Лагерра-Гаусса. В этом случае получена равномерная асимптотика в терминах функций Бесселя и Эйри для произвольного z. Также рассмотрены аналогичные пучки, локализованные не в круге, а в кольце. Для них получены равномерные асимптотики в терминах функции Эйри. 1.5.3. Во многих многомерных асимптотических задачах с интересными приложениями в сравнительно недавних работах участников проекта и их соавторов было обнаружено появление лагранжевых многообразий по существу состоящих целиком из особых точек (многообразий не находящихся “в общем положении”) и с изменяющей со времен структурой особенностей. В таких задачах возникает проблема конструктивного и унифицированного определения индекса Маслова путей и цепочки карт (аргументов якобианов в каноническом операторе Маслова). Стандартное определение предполагает наличие в картах неособых точек в картах ( то есть точек, окрестность которых, взаимно однозначно проектирующихся на свой образ в конфигурационном пространстве) покрывающих лагранжево многообразие, на котором задается канонический оператор. Был предложен и развит конструктивный и сравнительно легко реализуемый с помощью численных методов ( в частности, с помощью программы Mathematica) общий подход вычисления аргументов якобиана. 1.5.4. Построен главный член формального асимптотического решения задача Коши—Пуассона для двумерной идеальной жидкости в поле сил тяжести со свободной поверхностью в бассейне с непроницаемым дном и вертикальной стенкой, дно – переменное и угол дна со стенкой больше 90 градусов. Показано, что асимптотическое решение задается каноническим оператором на лагранжевом многообразии, состоящем из двух листов с учетом граничного индекса, возникающего при переходе от одного листа к другому, причем для условий Неймана (условий непротекания) граничный индекс равен нулю. Исследовано отражение поверхностной волны над неровным дном от стенки и влияние дисперсии. Равномерная по пространственной переменной асимптотика для возвышения свободной поверхности в общем случае выражена в виде функции Эйри и ее производной со сложным аргументом. 1.5.5. Получены конструктивные асимптотические формулы для нелинейных береговых волн в удобных для конкретных ситуаций координатах и рассмотрены нетривиальные примеры, описывающие такие волны как в окрестности островов, так и в замкнутых водоемах. Изучена зависимость параметров нелинейных волн (в частности, амплитуды и длины волны) от геометрических характеристик бассейна и показано, что основное влияние оказывает угол наклона дна у берега, в то время как кривизна береговой линии влияет лишь на фазовый сдвиг у осциллирующей части решения и, таким образом, на поправку к частоте колебаний. Обнаружен интересный эффект: зависимость амплитуды и длины волны от угла наклона напоминает закон Грина для волн на глубине. Кроме того, исследована зависимость критической амплитуды от длины волны, при которой нелинейные волны не обрушаются. С привлечением некоторых результатов из недавней работы С. Болотина и Д. Трещева изучены классические траектории гамильтоновой системы, связанной с этой задачей. 1.5.6. С помощью недавно развитого А. И. Аптекаревым, С. Ю. Доброхотовым, Д. Н. Туляковым и А. В. Цветковой метода построения равномерных асимптотик ортогональных полиномов, задаваемых рекуррентными соотношениями, построены равномерные по пространственной переменной асимптотики полиномов Якоби. Асимптотики определяются в терминах функций Эйри и Бесселя сложного аргумента в зависимости от значений параметров, характеризующих эти полиномы. 1.5.7. Построены асимптотические решения линеаризованной системы уравнений мелкой воды в случае быстроменяющегося дна и внешнего потока с быстроосциллирующими начальными условиями. Наличие негладкой зависимости от малого параметра в коэффициенте уравнения не позволяет прямо применить к задаче конструкцию канонического оператора Маслова, и для нахождения асимптотики используется подход, развитый, в частности, в работах В. П. Маслова и Г. А. Омельянова для построения солитонообразных асимптотик решений нелинейных уравнений. Исследованы различные ситуации прохождения и отражения падающих волновых пакетов при взаимодействии с быстроменяющимися препятствиями, в частности порождения вихревых составляющих решения из волновых и наоборот. Построены соответствующие лагранжевы поверхности для падающих, отраженных и прошедших мод, а также описано количество отраженных и прошедших мод для каждой из падающих. Обнаружены различные интересные эффекты, например, доказано, что при некоторых условиях на внешний поток и скорость одна падающая волна может давать сразу три прошедшие.